Euler線和Button元素

14th鐵人賽 jsxgraph text euler line

olddunk

2022-09-10 06:30:18

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今天介紹一個重要的數學定理-尤拉線，透過JSXGraph，我們很容易可以觀察定理的成立。這也是我們第一個教學網頁範例的內容。

利用前面所學建構幾何元素的方法，我們建構觀察尤拉線所要用的幾何元素，由於同時太多的線段或直線在畫板上出現，會混亂我們的視覺，我們會加入Button元素，執行這些幾何元素顯示和隱藏的切換功能。

尤拉線

先進行名詞解釋：

中線(median) 三角形三頂點與三對邊中點的連線段。
重心(centroid) 三中線會交於一點，這個點就是重心。
中垂線(perpendicular bisector) 三角形過三邊中點且與三邊垂直的直線。
外心(circumcentre) 三中垂線會交於一點，這個就是外心，也是三角形外接圓的圓心。
高(altitude) 三角形過頂點且與邊垂直的的線段。
垂心(orthocentre) 三個高交於一點，這個點就是垂心。
尤拉線(Euler Line) 重心、外心和垂心會在同一直線上，這條直線就稱為尤拉線。

我們在上面的畫板(board)設定後，加上控制元素顯示的變數，並建構幾何元素。我們讓幾何元素的顯示與否由變數決定，例如，當showMedians為true時，則顯示中線，否則隱藏中線。程式碼如下：

let showCentroid = false, showCircumcentre = false, showOrthocentre = false
let showMedians = false, showBiperpendiculars = false, showAltitudes = false
let showEulerLine = false
// 三角形的三頂點和三邊
const pointA = board.create('point', [-7, -5])
const pointB = board.create('point', [7, -5])
const pointC = board.create('point', [2, 7])
const sideAB = board.create('segment', [pointA, pointB])
const sideBC = board.create('segment', [pointB, pointC])
const sideCA = board.create('segment', [pointC, pointA])

// 三角形的中線和重心
const midpointAB = board.create('midpoint', [pointA, pointB], { visible: false })
const midpointBC = board.create('midpoint', [pointB, pointC], { visible: false })
const midpointCA = board.create('midpoint', [pointC, pointA], { visible: false })
const medianAB = board.create('segment', [pointC, midpointAB], { visible: () => showMedians })
const medianBC = board.create('segment', [pointA, midpointBC], { visible: () => showMedians })
const medianCA = board.create('segment', [pointB, midpointCA], { visible: () => showMedians })
const centroid = board.create('intersection', [medianAB, medianBC], { name: 'G', withLabel: true, visible: () => showCentroid }) // 重心

// 三角形的中垂線
const biperpendicularAB = board.create('perpendicular', [sideAB, midpointAB], { visible: () => showBiperpendiculars })
const biperpendicularBC = board.create('perpendicular', [sideBC, midpointBC], { visible: () => showBiperpendiculars })
const biperpendicularCA = board.create('perpendicular', [sideCA, midpointCA], { visible: () => showBiperpendiculars })
const circumcentre = board.create('intersection', [biperpendicularAB, biperpendicularBC], { name: 'O', withLabel: true, visible: () => showCircumcentre }) // 外心

// 三角形的高
const altitudeAB = board.create('perpendicularSegment', [sideAB, pointC], { visible: () => showAltitudes })
const altitudeBC = board.create('perpendicularSegment', [sideBC, pointA], { visible: () => showAltitudes })
const altitudeCA = board.create('perpendicularSegment', [sideCA, pointB], { visible: () => showAltitudes })
const orthocentre = board.create('intersection', [altitudeAB, altitudeBC], { name: 'H', withLabel: true, visible: () => showOrthocentre }) // 垂心

// 畫尤拉線
const EulerLine = board.create('line', [orthocentre, centroid], { visible: () => showEulerLine })

JSXGraph的Text類別

JSXGraph的Text類別提供了按鈕(Button)、核取方塊(checkbox)、輸入方塊(input)、標籤(label)和文字(text)五種元素，可以讓使用者執行互動功能。
Button 語法

const btn = board.create('button', [x坐標，y坐標，'按鈕顯示文字', 回呼函式], 樣式選項)

當使用者按下按鈕時，便會馬上執行回呼函式，以中線為例，先將showMedians反向取值，再將按鈕示依showMedians的值顯示文字。

// Buttons
const btnToggleMedians = board.create('button', [-9, 9, '顯示中線',
() => {
  showMedians = !showMedians
  if (showMedians) {
    btnToggleMedians._setText('隱藏中線')
  } else {
    btnToggleMedians._setText('顯示中線')
  }
}], {})

const btnToggleBiperpendiculars = board.create('button', [-6, 9, '顯示中垂線',
() => {
  showBiperpendiculars = !showBiperpendiculars
  if (showBiperpendiculars) {
    btnToggleBiperpendiculars._setText('隱藏中垂線')
  } else {
    btnToggleBiperpendiculars._setText('顯示中垂線')
  }
}], {})

const btnToggleAltitudes = board.create('button', [-2.5, 9, '顯示高',
() => {
  showAltitudes = !showAltitudes
  if (showAltitudes) {
    btnToggleAltitudes._setText('隱藏高')
  } else {
    btnToggleAltitudes._setText('顯示高')
  }
}], {})

const btnToggleCentroid = board.create('button', [-9, 7.5, '顯示重心',
() => {
  showCentroid = !showCentroid
  if (showCentroid) {
    btnToggleCentroid._setText('隱藏重心')
  } else {
    btnToggleCentroid._setText('顯示重心')
  }
}], {})

const btnToggleCircumcentre = board.create('button', [-6, 7.5, '顯示外心',
() => {
  showCircumcentre = !showCircumcentre
  if (showCircumcentre) {
    btnToggleCircumcentre._setText('隱藏外心')
  } else {
    btnToggleCircumcentre._setText('顯示外心')
  }
}], {})

const btnToggleOrthocentre = board.create('button', [-2.5, 7.5, '顯示垂心',
() => {
  showOrthocentre = !showOrthocentre
  if (showOrthocentre) {
    btnToggleOrthocentre._setText('隱藏垂心')
  } else {
    btnToggleOrthocentre._setText('顯示垂心')
  }
}], {})

const btnToggleEulerLine = board.create('button', [-9, 6, '顯示尤拉線',
() => {
  showEulerLine = !showEulerLine
  if (showEulerLine) {
    btnToggleEulerLine._setText('隱藏尤拉線')
  } else {
    btnToggleEulerLine._setText('顯示尤拉線')
  }
}], {})

執行畫面

今日程式碼連結

https://replit.com/@yegc22/iThomeIronman2022Day6?v=1

三角形的三個頂點都是自由點，大家可以任意拖曳三角形頂點，無論三角形如何改變，可以觀察到重心、外心和垂心永遠都在同一直線上。

今日小結

在二十一世紀的我們，借助電腦科技的發展，可以輕易發現更多的幾何性質，反而卻忽略了定理成立的珍貴。二點必然通過一直線，三點要在同一直線上，卻非理所當然。十八世紀的數學家尤拉（Euler），憑其個人敏銳的數學直覺，證明了這個定理的必然性。後面有機會，我將會介紹這個定理的證明，而利用網頁的展示，可以讓大家更容易理解這個定理的成立。